Регистры сдвига с линейной обратной связью как генераторы псевдослучайных чисел. Теоретические основы работы Ну и где же эти регистры
Последовательности регистров сдвига используются как в криптографии, так и в теории кодирования. Их теория прекрасно проработана, потоковые шифры на базе регистров сдвига являлись рабочей лошадкой военной криптографии задолго до появления электроники.
Регистр сдвига с обратной связью (далее РгСсОС) состоит из двух частей: регистра сдвига и функции обратной связи. Регистр сдвига представляет собой последовательность битов. Количество битов определяется длиной сдвигового регистра , если длина равна n битам, то регистр называется n-битовым сдвиговым регистром . Всякий раз, когда нужно извлечь бит, все биты сдвигового регистра сдвигаются вправо на 1 позицию. Новый крайний левый бит является функцией всех остальных битов регистра. На выходе сдвигового регистра оказывается один, обычно младший значащий, бит. Периодом сдвигового регистра называется длина получаемой последовательности до начала ее повторения.
Рисунок 1. Регистр сдвига с обратной связью
Регистры сдвига очень быстро нашли применение в потоковых шифрах, так как они легко реализовывались с помощью цифровой аппаратуры. В 1965 году Эрнст Селмер (Ernst Selmer), главный криптограф норвежского правительства, разработал теорию последовательности регистров сдвига . Соломон Голомб (Solomon Golomb), математик NSA, написал книгу, излагающие некоторые свои результаты и результаты Селмера . Простейшим видом регистра сдвига с обратной связью является регистр сдвига с линейной обратной связью (linear feedback shift register, далее LFSR или РгСсЛОС). Обратная связь таких регистров представляет собой просто XOR (сложение по модулю два) некоторых битов регистра, перечень этих битов называется отводной последовательностью (tap sequence). Иногда такой регистр называется конфигурацией Фиббоначи. Из-за простоты последовательности обратной связи для анализа РгСсЛОС можно использовать довольно развитую математическую теорию. Проанализировав получаемые выходные последовательности, можно убедиться в том, что эти последовательности достаточно случайны, чтобы быть безопасными. РгСсЛОС чаще других сдвиговых регистров используются в криптографии.
Рисунок 2. РгСсЛОС Фиббоначи
В общем случае n-битовый РгСсЛОС может находиться в одном из N=2 n -1 внутренних состояний. Это означает, что теоретически такой регистр может генерировать псевдослучайную последовательность с периодом Т=2 n -1 битов. (Число внутренних состояний и период равны N=T max =2 n -1, потому что заполнение РгСсЛОС нулями, приведет к тому, что сдвиговый регистр будет выдавать бесконечную последовательность нулей, что абсолютно бесполезно). Только при определенных отводных последовательностях РгСсЛОС циклически пройдет через все 2 n -1 внутренних состояний, такие РгСсЛОС являются РгСсЛОС с максимальным периодом . Получившийся результат называется М-последовательностью .
Пример . На рисунке ниже показан 4-битовый РгСсЛОС с отводом от первого и четвертого битов. Если его проинициализировать значением 1111, то до повторения регистр будет принимать следующие внутренние состояния:
 Номер такта сдвига (внутреннего состояния) |
Состояние регистров |
Выходной бит |
|||
|
Инициальное значение |
|||||
|
15 (возврат в инициальное состояние) |
|||||
|
16 (повтор состояний) |
Выходной последовательностью будет строка младших значащих битов: 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 с периодом Т=15, общее число возможных внутренних состояний (кроме нулевого), N=2 4 -1=16-1=15=T max , следовательно, выходная последовательность - M-последовательность.
Для того чтобы конкретный РгСсЛОС имел максимальный период, многочлен, образованный из отводной последовательности и константы 1, должен быть примитивным по модулю 2. Многочлен представляется в виде суммы степеней, например многочлен степени n представляется так:
a n x n +a n-1 x n-1 + … +a 1 x 1 +a 0 x 0 =a n x n +a n-1 x n-1 + … +a 1 x+a 0 , где а i ={0,1} для i=1…n, a x i - указывает разряд.
Степень многочлена является длиной сдвигового регистра. Примитивный многочлен степени n - это неприводимый многочлен, который является делителем x 2n?1 +1, но не является делителем x d +1 для всех d, являющихся делителями 2 n -1. Соответствующую математическую теорию можно найти в .
В общем случае не существует простого способа генерировать примитивные многочлены данной степени по модулю 2. Проще всего выбирать многочлен случайным образом и проверять, не является ли он примитивным. Это нелегко и чем-то похоже на проверку, не является ли простым случайно выбранное число - но многие математические пакеты программ умеют решать такую задачу.
Некоторые, но, конечно же, не все, многочлены различных степеней, примитивные по модулю 2, приведены далее. Например, запись
(32, 7, 5, 3, 2, 1, 0) означает, что следующий многочлен примитивен по модулю 2: x 32 + x 7 +x 5 + x 3 + x 2 + x + 1.
Это можно легко обобщить для РгСсЛОС с максимальным периодом. Первым числом является длина РгСсЛОС. Последнее число всегда равно 0, и его можно опустить. Все числа, за исключением 0, задают отводную последовательность, отсчитываемую от левого края сдвигового регистра. То есть, члены многочлена с меньшей степенью соответствуют позициям ближе к правому краю регистра.
Продолжая пример, запись (32, 7, 5, 3, 2, 1, 0) означает, что для взятого 32-битового сдвигового регистра новый бит новый бит генерируется с помощью XOR тридцать второго, седьмого, пятого, третьего, второго и первого битов, получающийся РгСсЛОС будет иметь максимальную длину, циклически проходя до повторения через 2 32 -1 значений.
Рисунок 4. 32-битовый РгСсЛОС с максимальной длиной
Рассмотрим программный код РгСсЛОС, у которого отводная последовательность характеризуется многочленом (32, 7, 5, 3, 2, 1, 0). На языке C выглядит следующим образом :
static unsigned long ShiftRegister = 1;
/* Все, кроме 0. */
ShiftRegister = ((((ShiftRegister >> 31)
^(ShiftRegister >> 6)
^(ShiftRegister >> 4)
^(ShiftRegister >> 2)
^(ShiftRegister >> 1)
^ShiftRegister))
| (ShiftRegister >> 1);
return ShiftRegister & 0x00000001;}
Если сдвиговый регистр длиннее компьютерного слова, код усложняется, но не намного. В приложении B приведена таблица некоторых примитивных многочленов по модулю 2 , будем использовать ее в дальнейшем для выявления некоторых свойств этих многочленов, а также в программной реализации для задания отводной последовательности.
Следует обратить внимание, что у всех элементов таблицы нечетное число коэффициентов. Такая длинная таблица приведена для дальнейшей работы с РгСсЛОС, так как РгСсЛОС часто используются для криптографии с потоковыми шифрами и в генераторах псевдослучайных чисел. В нашем случае можно использовать многочлены со старшей степенью не более семи.
Если p(x) примитивен, то примитивен и x n p (1/x), поэтому каждый элемент таблицы на самом деле определяет два примитивных многочлена. Например, если (a, b, 0) примитивен, то примитивен и (a, a-b, 0). Если примитивен (a, b, c, d, 0), то примитивен и (a, a-d, a-c, a-b, 0). Математически:
если примитивен x a +x b +1, то примитивен и x a +x a-b +1,
если примитивен x a +x b +x c +x d +1, то примитивен и x a +x a-d +x a-c +x a-b +1. Быстрее всего программно реализуются примитивные трехчлены, так как для генерации нового бита нужно выполнять XOR только двух битов сдвигового регистра (нулевой член не учитывается, т.е. х 0 =1, см. пример выше). Действительно, все многочлены обратной связи, приведенные в таблице, являются разреженными, то есть, у них немного коэффициентов. Разреженность всегда представляет собой источник слабости, которой иногда достаточно для вскрытия алгоритма. Для криптографических алгоритмов гораздо лучше использовать плотные примитивные многочлены, те, у которых много коэффициентов. Применяя плотные многочлены, особенно в качестве части ключа, можно использовать значительно более короткие РгСсЛОС.
Генерировать плотные примитивные многочлены по модулю 2 нелегко. В общем случае для генерации примитивных многочленов степени k нужно знать разложение на множители числа 2 k -1.
Сами по себе РгСсЛОС являются хорошими генераторами псевдослучайных последовательностей, но они обладают некоторыми нежелательными неслучайными (детерминированными) свойствами. Последовательные биты линейны, что делает их бесполезными для шифрования. Для РгСсЛОС длины n внутреннее состояние представляет собой предыдущие n выходных битов генератора. Даже если схема обратной связи хранится в секрете, она может быть определена по 2n выходным битам генератора с помощью высоко эффективного алгоритма Berlekamp-Massey .
Кроме того, большие случайные числа, генерируемые с использованием идущих подряд битов этой последовательности, сильно коррелированны и для некоторых типов приложений вовсе не являются случайными. Несмотря на это РгСсЛОС часто используются для создания алгоритмов шифрования в качестве составных частей систем и алгоритмов шифрования.
Определение
Регистр сдвига с линейной обратной связью состоит из двух частей: собственно регистра сдвига и функции обратной связи. Регистр состоит из битов , его длина - количество этих бит. Когда нужно извлечь бит, все биты регистра сдвигаются вправо на одну позицию. Новый крайний слева бит определяется функцией остальных битов. На выходе регистра оказывается один, обычно младший, значащий бит. Период регистра сдвига - длина получаемой последовательности до начала её повторения.
Для РСЛОС функция обратной связи представляет собой сумму по модулю 2 (xor) некоторых битов регистра, называемых отводами .
Регистр сдвига с линейной обратной связью длины состоит из ячеек, пронумерованных , каждая из которых способна хранить бит и имеет один вход и один выход, а также синхросигнал, который контролирует смещение данных. В течение каждой единицы времени выполняются следующие операции:
Регистр сдвига с линейной обратной связью
Таким образом, в качестве функции обратной связи берётся логическая операция XOR (исключающее ИЛИ), то есть:
Свойства
Свойства выдаваемой РСЛОС последовательности тесно связаны со свойствами ассоциированного многочлена над полем . Его ненулевые коэффициенты называются отводами , как и соответствующие ячейки регистра, поставляющие значения аргументов функции обратной связи.
Периодичность
Так как существует разных ненулевых состояний регистра, то период последовательности, генерируемой РСЛОС при любом ненулевом начальном состоянии, не превышает . При этом период зависит от ассоциированного многочлена:
Свойства примитивных многочленов
Линейная сложность
Линейная сложность бинарной последовательности - одна из самых важных характеристик работы РСЛОС. Введём следующие обозначения:
ОпределениеЛинейной сложностью бесконечной двоичной последовательности называется число , которое определяется следующим образом:
Линейной сложностью конечной двоичной последовательности называется число , которое равно длине самого короткого РСЛОС, который генерирует последовательность, имеющую в качестве первых членов .
Свойства линейной сложности
Пусть и - двоичные последовательности. Тогда:
Корреляционная независимость
Чтобы получить высокую линейную сложность криптографы пытаются нелинейно объединить результаты нескольких выходных последовательностей. При этом опасность состоит в том, что одна или несколько выходных последовательностей (часто даже выходы отдельных РСЛОС) могут быть связаны общим ключевым потоком и вскрыты с помощью линейной алгебры. Взлом на основе такой уязвимости называют корреляционным вскрытием . Томас Сигенталер показал, что можно точно определить корреляционную независимость, и что существует компромисс между корреляционной независимостью и линейной сложностью.
Примечание
Основная идея такого взлома заключается в обнаружении некоторой корреляции между выводом генератора и выводом одной из его составных частей. Затем, наблюдая выходную последовательность, можно получить информацию об этом промежуточном выводе. Используя эту информацию и другие корреляции, можно собирать данные о других промежуточных выводах до тех пор пока генератор не будет взломан.
Против многих генераторов потока ключей на базе регистра сдвига с линейной обратной связью успешно использовались корреляционные вскрытия или из вариации, такие как быстрые корреляционные вскрытия, предполагающие компромисс между вычислительной сложностью и эффективностью.
Пример
Для РСЛОС с ассоциированным многочленом генерируемая последовательность имеет вид . Допустим, перед началом процесса в регистре записана последовательность , тогда период генерируемого потока битов будет равен 7 со следующей последовательностью:
| Номер шага | Состояние | Генерируемый бит |
| 0 | - | |
| 1 | 1 | |
| 2 | 0 | |
| 3 | 0 | |
| 4 | 1 | |
| 5 | 1 | |
| 6 | 1 | |
| 7 | 0 |
Поскольку внутреннее состояние на седьмом шаге вернулось к исходному, то, начиная со следующего шага, будет идти повтор. Иными словами, период последовательности оказался равен 7, что произошло ввиду примитивности многочлена .
Алгоритмы генерации примитивных многочленов
Готовые таблицы
Вычисление примитивности многочлена - достаточно сложная математическая задача. Поэтому существуют готовые таблицы, в которых приведены номера отводных последовательностей, обеспечивающих максимальный период генератора. Например, для 32-битового сдвигового регистра имеется последовательность . Это означает, что для генерации нового бита необходимо с помощью функции XOR просуммировать 31-й, 30-й, 29-й, 27-й, 25-й и 0-й биты. Код для такого РСЛОС на языке Си следующий:
Int LFSR (void ) { static unsigned long S = 1 ; S = ((( (S>> 31 ) ^ (S>> 30 ) ^ (S>> 29 ) ^ (S>> 27 ) ^ (S>> 25 ) ^ S ) & 1 ) << 31 ) | (S>> 1 ) ; return S & 1 ; }
Программные реализации РСЛОС генераторов достаточно медленны и быстрее работают, если они написаны на ассемблере, а не на языке Си. Одним из решений является использование параллельно 16-ти РСЛОС (или 32, в зависимости от длины слова в архитектуре конкретного компьютера). В такой схеме используется массив слов, размер которого равен длине РСЛОС, а каждый бит слова массива относится к своему РСЛОС. При условии, что используются одинаковые номера отводных последовательностей, то это может дать заметный выигрыш в производительности. [нужен пример кода ] (См.: bitslice).
Конфигурация Галуа
Конфигурация Галуа регистра сдвига с линейной обратной связью
Схему обратной связи также можно модифицировать. При этом генератор не будет обладать большей криптостойкостью, но его будет легче реализовывать программно. Вместо использования для генерации нового крайнего левого бита битов отводной последовательности выполняется XOR каждого бита отводной последовательности с выходом генератора и замена его результатом этого действия, затем результат генератора становится новым левым крайним битом. На языке Си это выглядит следующим образом:
Int LFSR (void ) { static unsigned long Q = 1 ; Q = (Q>> 1 ) ^ ( Q& 1 ? 0x80000057 : 0 ) ; return Q & 1 ; }
Выигрыш состоит том, что все XOR выполняются за одну операцию.
Примечания:
- можно доказать, что приведенная первой конфигурация Фибоначчи и приведенная здесь конфигурация Галуа дают одинаковые последовательности (длиной 2³²-1), но смещённые по фазе одна от другой
- цикл из фиксированного числа вызовов функции LFSR в конфигурации Галуа выполняется примерно в два раза быстрее, чем в конфигурации Фибоначчи (компилятор MS VS 2010 на Intel Core i5)
- обратите внимание, что в конфигурации Галуа порядок бит в слове, определяющем обратную связь, обратный по сравнению с конфигурацией Фибоначчи
Примеры генераторов на РСЛОС
Генераторы «стоп-пошёл»
Чередующийся генератор "стоп-пошёл"
Этот генератор использует вывод одного РСЛОС для управления тактовой частотой другого РСЛОС. Тактовый выход РСЛОС-2 управляется выходом РСЛОС-1, так что РСЛОС-2 может менять своё состояние в момент времени t, только если выход РСДОС-1 в момент времени t-1 был равен единице. Но эта схема не устояла перед корреляционным вскрытием.
Поэтому был предложен улучшенный генератор, основанный на этой же идее. Его называют чередующийся генератор «стоп-пошёл». В нём используются три РСЛОС различной длины. РСЛОС-2 тактируется, когда выход РСЛОС-1 равен единице, а РСЛОС-3, когда выход РСЛОС-1 равен нулю. Выходом генератора является сумма по модулю 2 РСЛОС-2 и РСЛОС-3. У данного генератора большой период и большая линейная сложность. Его авторы показали также способ корреляционного вскрытия РСЛОС-1, но это не сильно ослабляет генератор.
Каскад Голлманна
Каскад Голлманна
Каскад Голлманна представляет собой усиленную версию генератора «стоп-пошёл». Он состоит из последовательности РСЛОС, тактирование каждого из которых управляется предыдущим РСЛОС. Если выходом РСЛОС-1 в момент времени t является 1,то тактируется РСЛОС-2. Если выходом РСЛОС-2 в момент времени t является 1, то тактируется РСЛОС-2, и так далее. Выход последнего РСЛОС является выходом генератора. Если длина всех РСЛОС одинакова и равна n, то линейная сложность системы из k РСЛОС равна
Эта идея просто и может быть использована для генерации последовательностей с огромными периодами, большими линейными сложностями и хорошими статистическими свойствами. Но, к сожалению, они чувствительны к вскрытию, называемому «запиранием» (lock-in). Для большей стойкости рекомендуется использовать k не менее 15. Причём лучше использовать больше коротких РСЛОС, чем меньше длинных РСЛОС.
Пороговый генератор
Пороговый генератор
Этот генератор пытается обойти проблемы безопасности, характерные для предыдущих генераторов с помощью переменного числа регистров сдвига. В теории при применении большего числа сдвиговых регистров сложность шифра возрастает, что и было сделано в данном генераторе.
Этот генератор состоит из большого числа регистров сдвига, выводы которых поступают на функцию мажорирования. Если число единиц на выходах регистров больше половины, то генератор выдает единицу. Если число нулей на выходах больше половины, то генератор выдает ноль. Для того чтобы сравнение число нулей и единиц было возможным, количество регистров сдвига должно быть нечётным. Длины всех регистров должны быть взаимно просты, а многочлены обратной связи - примитивны , чтобы период генерируемой последовательности был максимален.
Для случая трёх регистров сдвига генератор можно представить как:
Этот генератор похож на генератор Геффа за исключением того, что пороговый генератор обладает большей линейной сложностью. Его линейная сложность равна:
Где , , – длины первого, второго и третьего регистров сдвига.
Его недостатком является то, что каждый выходной бит дает некоторую информацию и состоянии сдвигового регистра. А точнее 0.189 бита. Поэтому данный генератор может не устоять перед корреляционным вскрытием.
Другие виды генераторов
Опишем их кратко
Самопрореживающие генераторы
Самопрореживающими называются генераторы, которые управляют собственной частотой. Было предложено два типа таких генераторов. Первый состоит из регистра сдвига с обратной линейной связью и некоторой схемы, которая тактирует этот регистр, в зависимости от того какими получаются выходные значения регистра сдвига. Если выход РСЛОС равен единице, то регистр тактируется d раз. Если выход равен нулю, то регистр тактируется k раз. Второй имеет практически ту же конструкцию, но несколько модифицированную: в схеме тактирования на вход, в качестве проверки на 0 или 1, поступает не сам выходной сигнал, а XOR определенных битов регистра сдвига с линейной обратной связью. К сожалению, этот вид генератора не безопасен.
Регистр сдвига с линейной обратной связью (РСЛОС, англ. linear feedback shift register , LFSR ) - регистр сдвига битовых слов, у которого значение входного (вдвигаемого) бита равно линейной булевой функции от значений остальных битов регистра до сдвига. Может быть организован как программными, так и аппаратными средствами. Применяется для генерации псевдослучайных последовательностей битов , что находит применение, в частности, в криптографии .
Описание
Управление регистром в аппаратных реализациях производится подачей сдвигающего импульса (иначе называемого тактовым или синхроимпульсом ) на все ячейки. Управление регистром в программных реализациях производится выполнением цикла . На каждой итерации цикла вычисляется функция обратной связи и выполняется сдвиг битов в слове.
Принцип работы
Линейная сложность
Корреляционная независимость
Пытаясь получить высокую линейную сложность генерируемой последовательности, криптографы нелинейно объединяют выходы нескольких регистров сдвига. При этом одна или несколько выходных последовательностей (или даже выходы отдельных РСЛОС) могут быть связаны общим потоком и вскрыты криптоаналитиком . Взлом на основе такой уязвимости называют корреляционным вскрытием . Основная идея такого взлома заключается в обнаружении некоторой корреляции между выводом генератора и выводами его составных частей. Затем, наблюдая выходную последовательность, можно получить информацию об этих промежуточных выводах, и, таким образом, взломать генератор. Томас Сигенталер показал, что можно точно определить корреляционную независимость, и что существует компромисс между корреляционной независимостью и линейной сложностью .
Программная реализация
Программные реализации РСЛОС достаточно медленны и работают быстрее, если они написаны на ассемблере . Одно из решений - параллельное использование 16-ти РСЛОС (или 32-х, в зависимости от длины слова в архитектуре компьютера). В такой схеме используется массив слов, размер которого равен длине регистра сдвига , а каждый бит слова относится к своему РСЛОС. Так как используются одинаковые номера отводных последовательностей, то это может дать заметный выигрыш в производительности генератора .
Конфигурация Фибоначчи
Рассмотрим 32-битовый сдвиговый регистр. Для него имеется отводная последовательность (32 , 31 , 30 , 28 , 26 , 1) {\displaystyle \left(32,\;31,\;30,\;28,\;26,\;1\right)} . Это означает, что для генерации нового бита необходимо с помощью операции XOR просуммировать 31-й, 30-й, 29-й, 27-й, 25-й и 0-й биты. Полученный РСЛОС имеет максимальный период 2 32 − 1 {\displaystyle 2^{32}-1} . Код для такого регистра на языке Си следующий:
int LFSR_Fibonacci (void ) { static unsigned long S = 0x00000001 ; S = ((((S >> 31 ) ^ (S >> 30 ) ^ (S >> 29 ) ^ (S >> 27 ) ^ (S >> 25 ) ^ S ) & 0x00000001 ) << 31 ) | (S >> 1 ); return S & 0x00000001 ; }
Конфигурация Галуа
Данный генератор не обладает большей криптостойкостью , но он даёт выигрыш в производительности: все операции XOR посредством распараллеливания можно выполнить за одно действие, а не последовательно одна за другой, как в конфигурации Фибоначчи. Данная схема также даст выигрыш при аппаратной реализации.
Код для регистра сдвига длины 32 бит на языке Си следующий:
int LFSR_Galois (void ) { static unsigned long S = 0x00000001 ; if (S & 0x00000001 ) { S = (S ^ 0x80000057 >> 1 ) | 0x80000000 ; return 1 ;} else { S >>= 1 ; return 0 ;} }
Стоит отметить, что цикл из фиксированного числа вызовов функции LFSR_Galois в конфигурации Галуа выполняется примерно в 2 раза быстрее, чем функция LFSR_Fibonacci в конфигурации Фибоначчи (компилятор MS VS 2010 на Intel Core i5).
Пример генерируемой последовательности
Конфигурация Фибоначчи
Пусть РСЛОС задаётся характеристическим многочленом x 3 + x + 1 {\displaystyle x^{3}+x+1} . Это значит, что битами отвода будут 2-й и 0-й, а единица в формуле многочлена означает, что 0-й бит - входной. Функция обратной связи имеет вид S j = S j − 1 ⊕ S j − 3 {\displaystyle S_{j}=S_{j-1}\oplus S_{j-3}} . Допустим, изначальным состоянием регистра сдвига была последовательность . Дальнейшие состояния регистра приведены в таблице ниже:
| Номер шага | Состояние | Генерируемый бит |
|---|---|---|
| 0 | [ 0 , 0 , 1 ] {\displaystyle \left} | 1 |
| 1 | 0 | |
| 2 | 0 | |
| 3 | 1 | |
| 4 | 1 | |
| 5 | 1 | |
| 6 | 0 | |
| 7 | [ 0 , 0 , 1 ] {\displaystyle \left} | 1 |
Поскольку внутреннее состояние на седьмом шаге вернулось к исходному, то, начиная со следующего шага, будет идти повтор битов. То есть генерируемая последовательность такова: [ 1 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , 0 , 1 . . . ] {\displaystyle \left} (порядок бит в последовательности соответствует порядку их генерации РСЛОС). Таким образом, период последовательности равен 7, то есть максимально возможному значению, что произошло в силу примитивности заданного многочлена.
Конфигурация Галуа
Возьмём тот же характеристический многочлен, то есть c 3 = c 1 = 1 {\displaystyle c_{3}=c_{1}=1} , c 2 = 0 {\displaystyle c_{2}=0} . С выходным битом складывается только 1-й бит. Начальное состояние то же самое. Дальнейшие состояния регистра:
| Номер шага | Состояние | Генерируемый бит |
|---|---|---|
| 0 | [ 0 , 0 , 1 ] {\displaystyle \left} | - |
| 1 | [ 1 , 0 , 0 ] {\displaystyle \left} | 0 |
| 2 | [ 0 , 1 , 1 ] {\displaystyle \left} | 1 |
| 3 | [ 1 , 0 , 1 ] {\displaystyle \left} | 1 |
| 4 | [ 1 , 1 , 1 ] {\displaystyle \left} | 1 |
| 5 | [ 1 , 1 , 0 ] {\displaystyle \left} | 0 |
| 6 | [ 0 , 1 , 0 ] {\displaystyle \left} | 0 |
| 7 | [ 0 , 0 , 1 ] {\displaystyle \left} | 1 |
Внутреннее состояние регистра на седьмом шаге вернулось к исходному, следовательно, его период также равен 7. В отличие от конфигурации Фибоначчи, внутренние состояния регистра получились другие, но генерируемая последовательность та же, только сдвинута на 4 такта : [ 0 , 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , . . . ] {\displaystyle \left} (порядок бит в последовательности соответствует порядку их генерации РСЛОС).
Генерация примитивных многочленов
| Биты, n {\displaystyle n} | Примитивный многочлен | Период, 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n}-1} | Число примитивных многочленов |
|---|---|---|---|
| 2 | x 2 + x + 1 {\displaystyle x^{2}+x+1} | 3 | 1 |
| 3 | x 3 + x 2 + 1 {\displaystyle x^{3}+x^{2}+1} | 7 | 2 |
| 4 | x 4 + x 3 + 1 {\displaystyle x^{4}+x^{3}+1} | 15 | 2 |
| 5 | x 5 + x 3 + 1 {\displaystyle x^{5}+x^{3}+1} | 31 | 6 |
| 6 | x 6 + x 5 + 1 {\displaystyle x^{6}+x^{5}+1} | 63 | 6 |
| 7 | x 7 + x 6 + 1 {\displaystyle x^{7}+x^{6}+1} | 127 | 18 |
| 8 | x 8 + x 6 + x 5 + x 4 + 1 {\displaystyle x^{8}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+1} | 255 | 16 |
| 9 | x 9 + x 5 + 1 {\displaystyle x^{9}+x^{5}+1} | 511 | 48 |
| 10 | x 10 + x 7 + 1 {\displaystyle x^{10}+x^{7}+1} | 1023 | 60 |
| 11 | x 11 + x 9 + 1 {\displaystyle x^{11}+x^{9}+1} | 2047 | 176 |
| 12 | x 12 + x 11 + x 10 + x 4 + 1 {\displaystyle x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{4}+1} | 4095 | 144 |
| 13 | x 13 + x 12 + x 11 + x 8 + 1 {\displaystyle x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{8}+1} | 8191 | 630 |
| 14 | x 14 + x 13 + x 12 + x 2 + 1 {\displaystyle x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{2}+1} | 16383 | 756 |
| 15 | x 15 + x 14 + 1 {\displaystyle x^{15}+x^{14}+1} | 32767 | 1800 |
| 16 | x 16 + x 14 + x 13 + x 11 + 1 {\displaystyle x^{16}+x^{14}+x^{13}+x^{11}+1} | 65535 | 2048 |
| 17 | x 17 + x 14 + 1 {\displaystyle x^{17}+x^{14}+1} | 131071 | 7710 |
| 18 | x 18 + x 11 + 1 {\displaystyle x^{18}+x^{11}+1} | 262143 | 7776 |
| 19 | x 19 + x 18 + x 17 + x 14 + 1 {\displaystyle x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{14}+1} | 524287 | 27594 |
| 20 - 168 | |||
| 2 - 786, 1024, 2048, 4096 | |||
Преимущества и недостатки
Преимущества
- высокое быстродействие криптографических алгоритмов, создаваемых на основе РСЛОС (например потоковых шифров);
- применение только простейших битовых операций сложения и умножения, аппаратно реализованных практически во всех вычислительных устройствах;
- хорошие криптографические свойства (РСЛОС могут генерировать последовательности большого периода с хорошими статистическими свойствами);
- благодаря своей структуре, РСЛОС легко анализируются с использованием алгебраических методов.
Недостатки
Способы улучшения криптостойкости генерируемых последовательностей
Генераторы с несколькими регистрами сдвига
Генератор такого типа состоит из нескольких регистров сдвига с линейной обратной связью, которые генерируют биты x 1 , i , x 2 , i , … , x M , i {\displaystyle x_{1,i},\;x_{2,i},\;\dots ,\;x_{M,i}} соответственно. Далее, генерируемые биты преобразуются некоторой булевой функцией f (x 1 , i , x 2 , i , … , x M , i) {\displaystyle f(x_{1,i},\;x_{2,i},\;\dots ,\;x_{M,i})} . Необходимо отметить, что у генераторов такого типа длины регистров L i {\displaystyle L_{i}} , i = 1 , 2 , … , M {\displaystyle i=1,\;2,\;\dots ,\;M} , взаимно просты между собой.
Период данного генератора равен T = (2 L 1 − 1) ⋅ (2 L 2 − 1) ⋯ (2 L M − 1) ≲ 2 L {\displaystyle T=(2^{L_{1}}-1)\cdot (2^{L_{2}}-1)\cdots (2^{L_{M}}-1)\lesssim 2^{L}} , где L = ∑ i = 1 M L i {\displaystyle L=\sum \limits _{i=1}^{M}L_{i}} - общее число ячеек. Следовательно, использование нескольких РСЛОС увеличивает период генерируемой последовательности по сравнению с одним регистром, что увеличивает криптостойкость генератора. Также увеличивается линейная сложность или длина кратчайшего регистра, соответствующего данному генератору. Такой регистр находится с помощью алгоритма Берлекэмпа - Мэсси по генерируемой последовательности. В лучшем случае его длина соизмерима с периодом генерируемой последовательности .
Генераторы с нелинейными преобразованиями
Структурная схема такого генератора ничем не отличается от схемы предыдущего генератора. Главное отличие заключается в том, что устройство преобразования задано нелинейной булевой функцией f (x 1 , x 2 , … , x M) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{M})} . В качестве такой функции берётся, например, полином Жегалкина (согласно теореме Жегалкина , всякая булева функция единственным образом может быть представлена полиномом Жегалкина).
Нелинейный генератор может быть также реализован на регистре сдвига с нелинейной обратной связью . Он может дать 2 2 L − 1 − L {\displaystyle 2^{2^{L-1}-L}} вариантов последовательностей максимального периода , что больше, чем у РСЛОС .
Криптостойкость данного генератора повышается за счет нелинейности используемой функции. Определение состояния регистров по генерируемой последовательности битов является сложной математической задачей, потому что не известен алгоритм, восстанавливающий исходные состояния.
Данный метод используется, например, в генераторе Геффа и обобщённом генераторе Геффа, однако такие генераторы могут быть взломаны корреляционным вскрытием .
Генераторы с различным тактированием регистров сдвига
Генератор «стоп-пошёл»
Генератор «стоп-пошёл» (англ. Stop-and-Go , Both-Piper ) использует вывод РСЛОС-1 для управления тактовой частотой РСЛОС-2, так что РСЛОС-2 меняет своё состояние в некоторый момент времени , только если выход РСЛОС-1 в момент времени был равен единице. Данная схема не устояла перед корреляционным вскрытием .
В целях увеличения криптостойкости был предложен чередующийся генератор «стоп-пошёл» . В нём используются три регистра сдвига различной длины. Здесь РСЛОС-1 управляет тактовой частотой 2-го и 3-го регистров, то есть РСЛОС-2 меняет своё состояние, когда выход РСЛОС-1 равен единице, а РСЛОС-3 - когда выход РСЛОС-1 равен нулю. Выходом генератора является операция сложения по модулю два выходов РСЛОС-2 и РСЛОС-3. У данного генератора большой период и большая линейная сложность. Существует способ корреляционного вскрытия РСЛОС-1, но это не сильно ослабляет криптографические свойства генератора.
Усложнённая схема тактирования использована в двустороннем генераторе «стоп-пошёл» , в котором используются 2 регистра сдвига одинаковой длины. Если выход РСЛОС-1 в некоторый момент времени t i − 1 {\displaystyle t_{i-1}} - единице, то РСЛОС-2 не тактируется в момент времени t i {\displaystyle t_{i}} . Если выход РСЛОС-2 в момент времени t i − 1 {\displaystyle t_{i-1}} равен нулю, а в момент времени t i − 2 {\displaystyle t_{i-2}} - единице, и если этот регистр тактируется в момент времени t i {\displaystyle t_{i}} , то в этот же момент РСЛОС-1 не тактируется. Линейная сложность данной схемы примерно равна периоду генерируемой последовательности.
Самопрореживающий генератор
Многоскоростной генератор с внутренним произведением
Данный генератор использует два регистра сдвига РСЛОС-1 и РСЛОС-2. Тактовая частота РСЛОС-2 в d {\displaystyle d} раз больше, чем у РСЛОС-1. Определённые биты этих регистров перемножаются друг с другом операцией AND . Результаты умножений суммируются операцией XOR, и получается выходная последовательность. Этот генератор имеет высокую линейную сложность и обладает хорошими статистическими свойствами. Однако его состояние может быть определено по выходной последовательности длиной L 1 + L 2 + log 2 d {\displaystyle L_{1}+L_{2}+\log _{2}{d}} , где L 1 {\displaystyle L_{1}} и L 2 {\displaystyle L_{2}} - длины РСЛОС-1 и РСЛОС-2 соответственно, а d {\displaystyle d} - отношение их тактовых частот.
Каскад Голлманна
Данная схема представляет собой улучшенную версию генератора «стоп-пошёл». Он состоит из последовательности РСЛОС, тактирование каждого из которых управляется предыдущим РСЛОС. Если выходом РСЛОС-1 в момент времени t i {\displaystyle t_{i}} является 1,то тактируется РСЛОС-2. Если выходом РСЛОС-2 в момент времени t i {\displaystyle t_{i}} является 1, то тактируется РСЛОС-3, и так далее. Выход последнего РСЛОС является выходом генератора. Если длина всех РСЛОС одинакова и равна L {\displaystyle L} , то период системы из M {\displaystyle M} РСЛОС равен (2 L − 1) M {\displaystyle (2^{L}-1)^{M}} , а линейная сложность - L (S) = L (2 L − 1) M − 1 {\displaystyle L(S)=L(2^{L}-1)^{M-1}} .
Эта идея проста и может быть использована для генерации последовательностей с огромными периодами, большими линейными сложностями и хорошими статистическими свойствами. Но, к сожалению, они чувствительны к вскрытию, называемому запиранием (англ. lock-in ), когда
дешифрование - p i = D (k i , c i) , как показывает рис. 7.21 .
Рис.
7.21.
Шифры потока быстрее, чем блочные шифры . Аппаратная реализация шифра потока также более проста. Когда мы должны зашифровать двоичные потоки и передать их на постоянной скорости, лучший выбор - использовать шифр потока. Шифры потока обладают большей защитой против искажения битов в течение передачи.
В современном шифре потока каждое r -битовое слово в потоке исходного текста зашифровано, используя r -битовое слово в ключевом потоке, чтобы создать соответствующее r -битовое слово в потоке зашифрованного текста .
Рис. 7.22.
Одноразовый блокнот - идеальный шифр. Он совершенен. Нет метода, который дал бы противнику возможность распознать ключ или статистику зашифрованного текста и исходного текста. Нет никаких соотношений между исходным и зашифрованным текстами. Другими словами, зашифрованный текст – настоящий случайный поток битов, даже если получить некоторые образцы исходного текста. Ева не может нарушить шифр, если она не попробует все возможные случайные ключевые потоки, которые были бы 2 n , если размер исходного текста - n -битовый. Однако при этом есть проблема. Передатчик и приемник для того, чтобы совместно использовать одноразовый блокнот ключей, должны установить соединение каждый раз, когда они хотят обменяться информацией. Они должны, так или иначе, договориться о случайном ключе. Так что этот совершенный и идеальный шифр очень трудно реализовать.
Пример 7.17
Какой вид имеет зашифрованный текст при использовании шифра одноразового блокнота в каждом из следующих случаев?
а. Исходный текст состоит из n нулей.
б. Исходный текст состоит из n единиц.
в. Исходный текст состоит из чередующихся нулей и единиц.
г. Исходный текст - случайная строчка бит.
Решение
a. Поскольку 
, то поток зашифрованного текста совпадет с ключевым потоком. Если ключ случайный, зашифрованный текст также случайный. Отрывки исходного текста в зашифрованном тексте не сохраняются.
b. Поскольку 
, где является дополнением, поток зашифрованного текста - дополнение ключевого потока. Если ключевой поток случайный, то зашифрованный текст также случайный, отрывки исходного текста не сохраняются в зашифрованном тексте.
c. В этом случае каждый бит в потоке зашифрованного текста является или тем же самым, что и в ключевом потоке, или его дополнением. Поэтому результат - также случайный, если ключевой поток случайный.
d. В данном случае зашифрованный текст явно случайный, потому что проведение операции ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ двух случайных битов в результате дает случайный поток бит.
Регистр сдвига с обратной связью
Одно усовершенствование к одноразовому блокноту - ( FSR - Feedback Shift Register ). FSR может быть реализован или в программном обеспечении, или в аппаратных средствах, но для простоты мы рассмотрим аппаратную реализацию. Регистр сдвига с обратной связью состоит из регистра сдвига и функции обратной связи , как показано на рис. 7.23 .
Рис. 7.23.
Регистр сдвига – последовательность из m ячеек от b 0 до b m-1 , где каждая ячейка предназначена для сохранения единственного бита. Ячейки рассматриваются как n -битовое слово, называемое в начале "начальное значение" или источник . Всякий раз, когда необходимо получить бит на выходе (например, по сигналу в определенное время), каждый бит сдвигается на одну ячейку вправо. Это означает, что значение каждой ячейки присваивается правой соседней ячейке и принимает значение левой ячейки. Самая правая ячейка b 0 считается выходом и дает выходное значение (k i ). Крайняя левая ячейка, b m-1 , получает свое значение согласно значению информации функции обратной связи. Обозначаем выход функции с информацией обратной связи b m . Функция информации обратной связи определяет, какие значения имеют ячейки, чтобы вычислить b m . Регистр сдвига информации обратной связи может быть линейный или нелинейный.
Линейный регистр сдвига с обратной связью (LFSR) . Примем, что b m - это линейная функция b 0 , b 1 ,…..., b m-1 , для которой
Линейный регистр сдвига с обратной связью работает с двоичными цифрами, поэтому умножение и сложение находятся в поле GF(2) , так что значение C i является или 1 , или 0 , но C 0 должно быть 1 , чтобы получить информацию обратной связи на выходе. Операция сложения – это операция ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ. Другими словами,
Пример 7.18
Построим линейный регистр сдвига с обратной связью с 5 -ю ячейками, в которых .
Решение
Если С i = 0, b i не играет роли в вычислении b m , то это означает, что b i не связан с функцией информации обратной связи. Если c i = 1 , b i включается в вычисление b m . В этом примере c 1 и c 3 - нули, это означает, что, мы имеем только три подключения. Рисунок 7.24 показывает схему линейного регистра сдвига с обратной связью.
Рис. 7.24.
Пример 7.19
Построим линейный регистр сдвига
с обратной связью с 4
-мя ячейками, в которых 
. Покажите значение регистра после 20
операций (сдвигов
), если исходное значение - (0001) 2
.
Решение
Рисунок 7.25 показывает схему и использование линейного регистра сдвига с обратной связью для шифрования.
Рис. 7.25.
Таблица 7.6. показывает значение потока ключей. Для каждого перехода первое значение b 4 вычисляется, а затем каждый бит сдвигается на одну ячейку вправо.
| Текущее значение | b 4 | b 3 | b 2 | b 1 | b 0 | k i |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Начальное значение | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 2 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 4 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 5 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 6 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 7 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 8 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 9 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 11 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 12 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 13 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 14 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 15 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 16 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 17 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 18 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 19 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 20 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Заметим, что поток ключей - 1000100110101111 1001…… . Он выглядит, на первый взгляд, как случайная последовательность, но если просмотреть большое число транзакций (сдвигов), мы можем увидеть, что последовательности периодичны. Это повторение по 15 бит показано ниже.
Ключ потока генерирует с помощью линейного регистра сдвига с обратной связью псевдослучайную последовательность , в которой повторяются последовательности длиною N . Поток периодичен. Он зависит от схемы генератора и начальной информации и может быть не свыше 2 m – 1 . Каждая схема порождает m -битовые последовательности от содержащих все нули до содержащих все единицы. Однако если начальная последовательность состоит только из нулей, результат бесполезен - исходный текст был бы потоком из одних нулей. Поэтому такая начальная последовательность исключена.
Последовательности сдвиговых регистров используются как в криптографии, так и в теории кодирования. Их теория прекрасно проработана, потоковые шифры на базе сдвиговых регистров являлись рабочей лошадкой военной криптографии задолго до появления электроники.
Сдвиговый регистр с обратной связью состоит из двух частей: сдвигового регистра и функции обратной связи (рисунок 1.2.1). Сдвиговый регистр представляет собой последовательность битов. (Количество битов определяется длиной сдвигового регистра. Если длина равна n битам, то регистр называется n-битовым сдвиговым регистром.) Всякий раз, когда нужно извлечь бит, все биты сдвигового регистра сдвигаются вправо на 1 позицию. Новый крайний левый бит является функцией всех остальных битов регистра. На выходе сдвигового регистра оказывается один, обычно младший значащий, бит. Периодом сдвигового регистра называется длина получаемой последовательности до начала ее повторения.
Рис. 1.2.1.
Криптографам нравились потоковые шифры на базе сдвиговых регистров: они легко реализовывались с помощью цифровой аппаратуры. Я лишь слегка затрону математическую теорию. В 1965 году Эрнст Селмер (Ernst Selmer), главный криптограф норвежского правительства, разработал теорию последовательности сдвиговых регистров. Соломон Голомб (Solomon Golomb), математик NSA, написал книгу, излагающие некоторые свои результаты и результаты Селмера.
Простейшим видом сдвигового регистра с обратной связью является линейный сдвиговый регистр с обратной связью (linear feedback shift register, или LFSR) (рисунок 1.2.2). Обратная связь представляет собой просто XOR некоторых битов регистра, перечень этих битов называется отводной последовательностью (tap sequence). Иногда такой регистр называется конфигурацией Фиббоначи. Из-за простоты последовательности обратной связи для анализа LFSR можно использовать довольно развитую математическую теорию. Криптографы любят анализировать последовательности, убеждая себя, что эти последовательности достаточно случайны, чтобы быть безопасными. LFSR чаще других сдвиговых регистров используются в криптографии.
Рис. 1.2.2.
На Рис. 1.2.3 показан 4-битовый LFSR с отводом от первого и четвертого битов. Если его проинициализировать значением 1111, то до повторения регистр будет принимать следующие внутренние состояния:
Рис. 1.2.3. 4
Выходной последовательностью будет строка младших значащих битов:
1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0....
n-битовый LFSR может находиться в одном из 2n-1 внутренних состояний. Это означает, что теоретически такой регистр может генерировать псевдослучайную последовательность с периодом 2n-1 битов. (Число внутренних состояний и период равны 2n-1, потому что заполнение LFSR нулями, приведет к тому, что сдвиговый регистр будет выдавать бесконечную последовательность нулей, что абсолютно бесполезно.) Только при определенных отводных последовательностях LFSR циклически пройдет через все 2n-1 внутренних состояний, такие LFSR являются LFSR с максимальным периодом. Получившийся результат называется М-последовательностью.
Для того, чтобы конкретный LFSR имел максимальный период, многочлен, образованный из отводной последовательности и константы 1, должен быть примитивным по модулю 2. Степень многочлена является длиной сдвигового регистра. Примитивный многочлен степени n - это неприводимый многочлен, который является делителем, но не является делителем xd+1 для всех d, являющихся делителями 2n-1.
В общем случае не существует простого способа генерировать примитивные многочлены данной степени по модулю 2. Проще всего выбирать многочлен случайным образом и проверять, не является ли он примитивным. Это нелегко - и чем-то похоже на проверку, не является ли простым случайно выбранное число - но многие математические пакеты программ умеют решать такую задачу.
Некоторые, но, конечно же, не все, многочлены различных степеней, примитивные по модулю 2. Например, запись (32, 7, 5, 3, 2, 1, 0) означает, что следующий многочлен примитивен по модулю 2:
x32 + x7 +x5 + x3 + x2 + x + 1
Это можно легко обобщить для LFSR с максимальным периодом. Первым числом является длина LFSR. Последнее число всегда равно 0, и его можно опустить. Все числа, за исключением 0, задают отводную последовательность, отсчитываемую от левого края сдвигового регистра. То есть, члены многочлена с меньшей степенью соответствуют позициям ближе к правому краю регистра.
Продолжая пример, запись (32, 7, 5, 3, 2, 1, 0) означает, что для взятого 32-битового сдвигового регистра новый бит новый бит генерируется с помощью XOR тридцать второго, седьмого, пятого, третьего, второго и первого битов получающийся LFSR будет иметь максимальную длину, циклически проходя до повторения через 232-1 значений.
Возможно, будет полезно почитать:
- Высококачественный предусилитель «NATALY» ;
- Галерея изображений на jQuery с интересным эффектом ;
- Способы узнать сумму к оплате за интернет и домашний телефон ростелеком ;
- Облако Оорта: краткие сведения Земля вошла в облако астероидов смерти ;
- Доставка с eBay в Россию, сроки, стоимость и ограничения ;
- Как соединить ячейки в таблице html ;
- Конвертирование из Excel в HTML: корректно, качественно, просто ;
- Мтс банк личный телефон. Мтс банк личный кабинет. Подверждение операций с помощью SMS-ключа ;