Чему равна циклическая частота колебаний. Колебания

В мире, окружающем нас, есть много явлений и процессов, которые, по большому счету, незаметны не потому, что их нет, а потому, что мы их попросту не замечаем. Они присутствуют всегда и являются такой же незаметной и обязательной сущностью вещей, без которой нашу жизнь и представить трудно. Каждому, например, известно, что такое колебание: в самом общем виде - это отклонение от состояния равновесия. Ну, хорошо, отклонилась верхушка Останкинской башни на свои 5 м, а что дальше? Так и застынет? Ничего подобного, начнет возвращаться назад, проскочит состояние равновесия и будет отклоняться в другую сторону, и так вечно, пока она будет существовать. А скажите, много людей реально видели эти вполне серьезные колебания такого огромного сооружения? Все знают, колеблется, сюда-туда, сюда-туда, и днем и ночью, зимой и летом, но как-то… не заметно. Причины колебательного процесса - это другой вопрос, но его наличие - неотделимый признак всего сущего.

Колеблется все вокруг: здания, сооружения, маятники часов, листья на деревьях, струны скрипки, поверхность океана, ножки камертона… Среди колебаний различают хаотичные, которые не имеют строгой повторяемости, и циклические, у которых за временной период Т колеблющееся тело проходит полный набор своих изменений, а затем этот цикл в точности повторяется, вообще говоря, бесконечно долго. Обычно эти изменения подразумевают последовательный перебор пространственных координат, как это можно наблюдать на примере колебаний маятника или той же башни.

Количество колебаний в единицу времени называется частотой F = 1/T. Единица измерения частоты - Гц = 1/сек. Понятное дело, что циклическая частота является параметром одноименных колебаний любого вида. Тем не менее, на практике принято это понятие, с некоторыми дополнениями, относить преимущественно к колебаниям вращательного характера. Так уж сложилось в технике, что является основой большинства станков, механизмов, устройств. Для таких колебаний один цикл составляет один оборот, и тогда удобнее использовать угловые параметры перемещения. Исходя из этого, вращательное перемещение измеряют угловыми единицами, т.е. один оборот равен 2π радиан, а циклическая частота ῳ = 2π / T. Из этого выражения легко просматривается связь c частотой F: ῳ = 2πF. Это позволяет сказать, что циклическая частота - это количество колебаний (полных оборотов) за 2π секунд.

Казалось бы, не в лоб, так… Не совсем так. Множители 2π и 2πF применяются во многих уравнениях электроники, математической и теоретической физики в разделах, где колебательные процессы изучаются с использованием понятия циклическая частота. Формула резонансной частоты, например, сокращается на два сомножителя. В случае использования в расчетах единицы «об./сек» угловая, циклическая, частота ῳ численно совпадает со значением частоты F.

Колебания, как суть и форма существования материи, и ее вещественного воплощения - предметов нашего бытия, имеют большое значение в жизни человека. Знание законов колебаний позволило создать современную электронику, электротехнику, многие современные машины. К сожалению, колебания не всегда приносят положительный эффект, иногда они приносят горе и разрушения. Неучтённые колебания, причина многих аварий, вызывают материалов, а циклическая частота резонансных колебаний мостов, плотин, деталей машин приводит к их преждевременному выходу из строя. Изучение колебательных процессов, умение предсказать поведение природных и технических объектов с целью предотвратить их разрушение или выход из рабочего состояния - основная задача многих инженерных приложений, а обследование промышленных объектов и механизмов на виброустойчивость - обязательный элемент эксплуатационного обслуживания.

Определение

Мерой колебательного движения служит циклическая (или угловая, или круговая) частотой колебаний .

Это скалярная физическая величина.

Циклическая частота при гармонических колебаниях

Пусть колебания совершает материальная точка. При этом материальная точка через равные промежутки времени проходит через одно и то же положение.

Самыми простыми колебаниями являются гармонические колебания. Рассмотрим следующую кинематическую модель. Точка M с постоянной по модулю скоростью ($v$) движется по окружности радиуса A. В этом случае ее угловую скорость обозначим ${\omega }_0$, эта скорость постоянна (рис.1).

Проекция точки $M$ на диаметр окружности (точка $N$), на ось X, выполняет колебания от $N_1$ до $N_2\ $и обратно. Такое колебание N ,будет гармоническим. Для описания колебания точки N необходимо записать координату точки N, как функцию от времени ($t$). Пусть при $t=0$ радиус OM образует с осью X угол ${\varphi }_0$. Через некоторый промежуток времени этот угол изменится на величину ${\omega }_0t$ и будет равен ${\omega }_0t+{\varphi }_0$, тогда:

Выражение (1) является аналитической формой записи гармонического колебания точки N по диаметру $N_1N_2$.

Обратимся к выражению (1). Величина $A$ - это максимальное отклонение точки, совершающей колебания, от положения равновесия (точки О - центра окружности), называется амплитудой колебаний.

Параметр ${\omega }_0$ - циклическая частота колебаний. $\varphi =({\omega }_0t+{\varphi }_0$) - фаза колебаний; ${\varphi }_0$ - начальная фаза колебаний.

Циклическую частоту гармонических колебаний можно определить как частную производную от фазы колебаний по времени:

\[{\omega }_0=\frac{?\varphi }{\partial t}=\dot{\varphi }\left(2\right).\]

При ${\varphi }_0=0$, уравнение колебаний (1) преобразуется к виду:

Если начальная фаза колебаний равна ${\varphi }_0=\frac{\pi }{2}$ , то получим уравнение колебаний в виде:

Выражения (3) и (4) показывают, что при гармонических колебаниях абсцисса $x$ - это функция синус или косинус от времени. При графическом изображении гармонических колебаний получается косинусоида или синусоида. Форма кривой определена амплитудой колебаний и величиной циклической частоты. Положение кривой зависит от начальной фазы.

Циклическую частоту колебаний можно выразить через период (T) колебаний:

\[{\omega }_0=\frac{2\pi }{T}\left(5\right).\]

Циклическую частоту с частотой $?$$?$ свяжем выражением:

\[{\omega }_0=2\pi \nu \ \left(6\right).\]

Единицей измерения циклической частоты в Международной системе единиц (СИ) является радиан, деленный на секунду:

\[\left[{\omega }_0\right]=\frac{рад}{с}.\]

Размерность циклической частоты:

\[{\dim \left({\omega }_0\right)=\frac{1}{t},\ }\]

где $t$ - время.

Частные случаи формул для вычисления циклической частоты

Груз на пружине (пружинный маятник - идеальная модель) совершает гармонические колебания с круговой частотой равной:

\[{\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\left(7\right),\]

$k$ - коэффициент упругости пружины; $m$ - масса груза на пружине.

Малые колебания физического маятника будут приблизительно гармоническими колебаниями с циклической частотой равной:

\[{\omega }_0=\sqrt{\frac{mga}{J}}\left(8\right),\]

где $J$ - момент инерции маятника относительно оси вращения; $a$ - расстояние между центром масс маятника и точкой подвеса; $m$ - масса маятника.

Примером физического маятника является математический маятник. Круговая частота его колебаний равна:

\[{\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{l}}\left(9\right),\]

где $l$ - длина подвеса.

Угловая частота затухающих колебаний находится как:

\[\omega =\sqrt{{\omega }^2_0-{\delta }^2}\left(10\right),\]

где $\delta $ - коэффициент затухания; в случае с затуханием колебаний ${\omega }_0$ называют собственной угловой частотой колебаний.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание: Чему равна циклическая частота гармонических колебаний, если максимальная скорость материальной точки равна ${\dot{x}}_{max}=10\ \frac{см}{с}$, а ее максимальное ускорение ${\ddot{x}}_{max}=100\ \frac{см}{с^2}$?

Решение: Основой решения задачи станет уравнение гармонических колебаний точки, так как из условий, очевидно, что они происходят по оси X:

Скорость колебаний найдем, используя уравнение (1.1) и кинематическую связь координаты $x$ и соответствующей компоненты скорости:

Максимальное значение скорости (амплитуда скорости) равна:

Ускорение точки вычислим как:

Из формулы (1.3) выразим амплитуду, подставим ее в (1.5), получим циклическую частоту:

\[{\dot{x}}_{max}=A{\omega }_0\to A=\frac{{\dot{x}}_{max}}{{\omega }_0};;\ {\ddot{x}}_{max}=A{щ_0}^2=\frac{{\dot{x}}_{max}}{щ_0}{щ_0}^2\to щ_0=\frac{{\ddot{x}}_{max}}{{\dot{x}}_{max}}.\]

Вычислим циклическую частоту:

\[щ_0=\frac{100}{10}=10(\frac{рад}{с}).\]

Ответ: $щ_0=10\frac{{\rm рад}}{{\rm с}}$

Пример 2

Задание: На длинном невесомом стержне закреплены два груза одинаковой массы. Один груз находится на середине стержня, другой на его конце (рис.2). Система совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стрежня. Какова циклическая частота колебаний? Длина стержня равна $l$.

Решение: Основой для решения задачи является формула нахождения частоты колебаний физического маятника:

\[{\omega }_0=\sqrt{\frac{mga}{J}}\left(2.1\right),\]

где $J$ - момент инерции маятника относительно оси вращения; $a$ - расстояние между центром масс маятника и точкой подвеса; $m$ - масса маятника. Масса маятника по условию задачи состоит из масс двух одинаковых шариков (масса одного шарика $\frac{m}{2}$). В нашем случае расстояние $a$ равно расстоянию между точками O и C (см. рис.2):

Найдем момент инерции системы из двух точечных масс. Относительно центра масс (если ось вращения провести через точку C), момент инерции системы ($J_0$) равен:

Момент инерции нашей системы относительно оси, проходящей через точку О найдем по теореме Штейнера:

Подставим правые части выражение (2.2) и (2.4) в (2.1) вместо соответствующих величин:

\[{\omega }_0=\sqrt{\frac{mg\frac{3}{4}l\ }{\frac{5}{8}ml^2}}=\sqrt{\frac{6g}{5l}}.\]

Ответ: ${\omega }_0=\sqrt{\frac{6g}{5l}}$

Гармонические колебания – колебания, совершаемые по законам синуса и косинуса. На следующем рисунке представлен график изменения координаты точки с течением времени по закону косинуса.

картинка

Амплитуда колебаний

Амплитудой гармонического колебания называется наибольшее значение смещения тела от положения равновесия. Амплитуда может принимать различные значения. Она будет зависеть от того, насколько мы сместим тело в начальный момент времени от положения равновесия.

Амплитуда определяется начальными условиями, то есть энергией сообщаемой телу в начальный момент времени. Так как синус и косинус могут принимать значения в диапазоне от -1 до 1, то в уравнении должен присутствовать множитель Xm, выражающий амплитуду колебаний. Уравнение движения при гармонических колебаниях:

x = Xm*cos(ω0*t).

Период колебаний

Период колебаний – это время совершения одного полного колебания. Период колебания обозначается буквой Т. Единицы измерения периода соответствуют единицам времени. То есть в СИ - это секунды.

Частота колебаний – количество колебаний совершенных в единицу времени. Частота колебаний обозначается буквой ν. Частоту колебаний можно выразить через период колебания.

ν = 1/Т.

Единицы измерения частоты в СИ 1/сек. Эта единица измерения получила название Герца. Число колебаний за время 2*pi секунд будет равняться:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Частота колебаний

Данная величина называется циклической частотой колебаний. В некоторой литературе встречается название круговая частота. Собственная частота колебательной системы – частота свободных колебаний.

Частота собственных колебаний рассчитывается по формуле:

Частота собственных колебаний зависит от свойств материала и массы груза. Чем больше жесткость пружины, тем больше частота собственных колебаний. Чем больше масса груза, тем меньше частота собственных колебаний.

Эти два вывода очевидны. Чем более жесткая пружина, тем большее ускорение она сообщит телу, при выведении системы из равновесия. Чем больше масса тела, тем медленнее будет изменяться это скорость этого тела.

Период свободных колебаний :

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

Примечателен тот факт, что при малых углах отклонения период колебания тела на пружине и период колебания маятника не будут зависеть от амплитуды колебаний.

Запишем формулы периода и частоты свободных колебаний для математического маятника.

тогда период будет равен

T = 2*pi*√(l/g).

Данная формула будет справедлива лишь для малых углов отклонения. Из формулы видим, что период колебаний возрастает с увеличением длины нити маятника. Чем больше будет длина, тем медленнее тело будет колебаться.

От массы груза период колебаний совершенно не зависит. Зато зависит от ускорения свободного падения. При уменьшении g, период колебаний будет увеличиваться. Данное свойство широко используют на практике. Например, для измерения точного значения свободного ускорения.

Время, в течение которого совершается одно полное изме­нение ЭДС, то есть один цикл колебания или один полный оборот радиуса-вектора, называется периодом колебания пере­менного тока (рисунок 1).

Рисунок 1. Период и амплитуда синусоидального колебания. Период - время одного колебания; Аплитуда - его наибольшее мгновенное значение.

Период выражают в секундах и обозначают буквой Т .

Так же используются более мелкие единицы измерения периода это миллисекунда (мс)- одна тысячная секунды и микросекунда (мкс)- одна миллионная секунды.

1 мс =0,001сек =10 -3 сек.

1 мкс=0,001 мс = 0,000001сек =10 -6 сек.

1000 мкс = 1 мс.

Число полных изменений ЭДС или число оборотов ради­уса-вектора, то есть иначе говоря, число полных циклов колеба­ний, совершаемых переменным током в течение одной секунды, называется частотой колебаний переменного тока .

Частота обо­значается буквой f и выражается в периодах в секунду или в герцах.

Одна тысяча герц называется килогерцом (кГц), а миллион герц - мегагерцом (МГц). Существует так же единица гигагерц (ГГц) равная одной тысячи мегагерц.

1000 Гц = 10 3 Гц = 1 кГц;

1000 000 Гц = 10 6 Гц = 1000 кГц = 1 МГц;

1000 000 000 Гц = 10 9 Гц = 1000 000 кГц = 1000 МГц = 1 ГГц;

Чем быстрее происходит изменение ЭДС, то есть чем бы­стрее вращается радиус-вектор, тем меньше период колебания Чем быстрее вращается радиус-вектор, тем выше частота. Таким образом, частота и период переменного тока являются величинами, обратно пропорциональными друг другу. Чем больше одна из них, тем меньше другая.

Математическая связь между периодом и частотой переменного тока и напряжения выра­жается формулами

Например, если частота тока равна 50 Гц, то период будет равен:

Т = 1/f = 1/50 = 0,02 сек.

И наоборот, если известно, что период тока равен 0,02 сек, (T=0,02 сек.), то частота будет равна:

f = 1/T=1/0,02 = 100/2 = 50 Гц

Частота переменного тока, используемого для освещения и промышленных целей, как раз и равна 50 Гц.

Частоты от 20 до 20 000 Гц называются звуковыми часто­тами. Токи в антеннах радиостанций колеблются с частотами до 1 500 000 000 Гц или, иначе говоря, до 1 500 МГц или 1,5 ГГц. Такие вы­сокие частоты называются радиочастотами или колебаниями высокой частоты.

Наконец, токи в антеннах радиолокационных станций, станций спутниковой связи, других спецсистем (например ГЛАНАСС, GPS) колеблются с частотами до 40 000 МГц (40 ГГц) и выше.

Амплитуда переменного тока

Наибольшее значение, которого достигает ЭДС или сила тока за один период, называется амплитудой ЭДС или силы переменного тока . Легко заметить, что амплитуда в масштабе равна длине радиуса-вектора. Амплитуды тока, ЭДС и напряжения обозначаются соответственно бук­вами Im, Em и Um (рисунок 1).

Угловая (циклическая) частота переменного тока.

Скорость вращения радиуса-вектора, т. е. изменение ве­личины угла поворота в течение одной секунды, называется угловой (циклической) частотой переменного тока и обозначается греческой буквой ? (оме­га). Угол поворота радиуса-вектора в любой данный момент относительно его начального положения измеряется обычно не в градусах, а в особых единицах - радианах.

Радианом называется угловая величина дуги окружности, длина которой равна радиусу этой окружности (рисунок 2). Вся окружность, составляющая 360°, равна 6,28 радиан, то есть 2.

Рисунок 2.

1рад = 360°/2

Следовательно, конец радиуса-вектора в течение одного периода пробегают путь, равный 6,28 радиан (2). Так как в тече­ние одной секунды радиус-вектор совершает число оборотов, равное частоте переменного тока f , то за одну секунду его ко­нец пробегает путь, равный 6,28 * f радиан. Это выражение, характеризующее скорость вращения радиуса-вектора, и будет угловой частотой переменного тока - ? .

? = 6,28*f = 2f

Угол поворота радиуса-вектора в любое данное мгновение относительно его начального положения называется фазой переменного тока . Фаза характеризует величину ЭДС (или тока) в данное мгновение или, как говорят, мгновенное значение ЭДС, ее направление в цепи и направление ее изменения; фаза пока­зывает, убывает ли ЭДС или возрастает.

Рисунок 3.

Полный оборот радиуса-вектора равен 360°. С началом но­вого оборота радиуса-вектора изменение ЭДС происходит в том же порядке, что и в течение первого оборота. Следова­тельно, все фазы ЭДС будут повторяться в прежнем поряд­ке. Например, фаза ЭДС при повороте радиуса-вектора на угол в 370° будет такой же, как и при повороте на 10°. В обо­их этих случаях радиус-вектор занимает одинаковое положе­ние, и, следовательно, мгновенные значения ЭДС будут в обоих этих случаях одинаковыми по фазе.


Таким образом, полная энергия гармонического колебания постоянна и пропорциональна квадрату амплитуды смещения. Это – одно из характерных свойств гармонических колебаний. Здесь постоянный коэффициент k в случае пружинного маятника означает жёсткость пружины, а для математического маятника k=mgH. В обоих случаях коэффициент k передаётся параметрами колебательной системы.

Полная энергия механической колебательной системы состоит из кинетической и потенциальной энергий и равна максимальному значению любой из этих двух составляющих:

Следовательно, полная энергия колебаний прямо пропорциональна квадрату амплитуды смещения или квадрату амплитуды скорости.

Из формулы:

можно определить амплитуду x m колебаний смещения:


Амплитуда смещения при свободных колебаниях прямо пропорциональна корню квадратному из энергии, сообщённой колебательной системе в начальный момент, когда систему выводили из состояния равновесия.

Кинематика механических свободных колебаний

1 Смещение, скорость, ускорение. Для нахождения кинематических характеристик (смещения, скорости и ускорения) свободных колебаний воспользуемся законом сохранения и превращения энергии, которой для идеальной механической колебательной системы записывается так:





Так как производная по времени φ " постоянна, то угол φ зависит от времени линейно:

Учитывая это можно записать:

x = x m sin ω 0 t, υ = x m ω 0 cos ω 0 t

Здесь величина

есть амплитуда изменения скорости:

υ = υ m cos ω 0 t

Зависимость мгновенного значения ускорения a от времени t мы найдём как производную скорости υ по времени:

a = υ " = - ω 0 υ m sin ω 0 t,

a = -a m sin ω 0 t

знак «-» в полученной формуле указывает на то, что знак проекции вектора ускорения на ось, вдоль которой происходят колебания, противоположен знаку смещения x.

Итак, мы видим, что при гармонических колебаниях не только смещение, но и скорость и ускорение изменяются синусоидально.

2 Циклическая частота колебаний. Величина ω 0 называется циклической частотой колебаний. Так как функция sin α имеет по аргументу α период 2π, а гармонические колебания имеют по времени период T, то

 

Возможно, будет полезно почитать: